Pola & Barisan Bilangan

1) Pola Bilangan

A. Pengertian Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

B. Jenis dan Bentuk Pola Bilangan
a) Pola Bilangan Ganjil
berikut pola titik" yang menyatakan suatu bilangan ganjil yang dinyatakan dengan banyak titik nya , yaitu 1, 3, 5, dst

b) Pola Bilangan Genap
berikut pola titik" yang menyatakan suatu bilangan genap yang dinyatakan dengan banyak titik nya , yaitu 2, 4, 6, dst

c) Pola Bilangan Segitiga Pascal
(Bentuk Segitiga) >> diperoleh dari penambahan baris diatasnya ..

1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 ....

d) Pola Bilangan Persegi
Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan asli . Un= n^2

e) Pola Bilangan Persegi Panjang
Pola bilangan persegi panjang :: 2, 6, 12, ... Un = n(n+1)

f) Pola bilangan segitiga
Bentuk segitiga sama sisi >>

... Pola bilangan segitiga :: 1, 3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)

2. Barisan Bilangan

Jenis-jenis barisan bilangan ::

1. Barisan Bilangan Genap
Barisan: 2, 4, 6, 8, ...
Deret: 2 + 4 + 6 + 8 + …
Rumus Suku ke-n: Un = 2n
Jumlah n suku pertama: Sn = n² + n

2. Barisan Bilngan Ganjil 
Barisan: 1, 3, 5, 7, 9, …
Deret: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Rumus Suku ke-n: Un = 2n – 1
Jumlah n suku pertama: Sn = n²

3. Barisan Bilangan Persegi ( Kuadrat )
Barisan: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
Deret: 1 + 4 + 9 + 25 + 36 + …
Rumus Suku ke-n: Un = n²
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n( n + 1 )( 2n + 1 )

4. Barisan Bilngan Kubus ( Kubik )
Barisan: 1, 8, 27, 64, 125, 216, …
Deret: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + …
Rumus Suku ke-n: Un = n³
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n² ( n + 1 )²

5. Barisan Bilangan Segitiga
Barisan: 1, 3, 6, 10, 15, 21, …
Deret: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …
Rumus Suku ke-n: Un = 1/2 n ( n + 1 )
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

6. Barisan Bilangan Persegi Panjang
Barisan: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …
Deret: 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + …
Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 )
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

7. Barisan Bilangan Balok
Barisan: 6, 24, 60, 120, …
Deret: 6 + 24 + 60 + 120 + …
Rumus Suku ke-n: Un = n ( n + 1 ) ( n + 2 )
Jumlah n suku pertama: Sn = 1/4 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )

8. Barisan Bilangan Fibonacci
Barisan Bilangan Fibonacci adalah barisan yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku di depannya.
Barisan:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Deret: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + …
Rumus Suku ke-n: Un = Un - 1 + Un – 2
Jumlah n suku pertama: Sn = 2Un+U(n-1)-U2

1) Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan dimana suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda (b).
Bentuk umum :: a , a+b , a+2b , a+3b , ... , a+(n-1)b
beda (b) = U2-U1 = U3-U2 = .... = Un-U(n-1)
Un = a+(n-1)b 
dengan :
a = suku pertama
b = beda ( selisih )
n = banyaknya suku
Un = suku ke-n yaitu suku terakhir

1. Sisipan pada barisan artimatika
apabila diantara 2 suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka beda suku baru setelah sisipan adalah : b' = b / (k+1) 
dengan :
b' = beda setelah sisipan
b = beda sebelum sisipan
k = banyak suku sisipan

2, Banyaknya suku baru setelah sisipan adalah: n' = n+(n-1)k 
dengan :
n' = banyak suku setelah sisipan
n = banyak suku sebelum sisipan
k = banyaknya suku sisipan

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah : 

Sn' = n'/2 (2a+(n'-1)b')

ex : Diantara 5 dan 50 disisipi 8 bilanagn sehingga membentuk barisan aritmatika. Tentukan barisan tersebut .. jawab : beda sebelum sisipan = b = 50-5 = 45 beda sesudah sisipan b' = b / (k+1) = 45/(8+1) = 45/9 = 5 jadi barisan yg dibentuk : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

4. Suku Tengah Aritmatika
Ut = (a+Un)/2
dengan :
Ut = suku tengah
Un = suku ke-n
a = suku pertama

2. Barisan Geometri
Barisan Geometri adalah suatu barisan bilangan dimana suku-suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan tetap pada suku sebelumnya. Bilangan tetap itu rasio (r)
Bentuk umum :: a , ar, ar^2 , ... , ar^(n-1)
r = U2/U1 = U3/U2 = ... = Un/U(n-1)
Un = ar^(n-1) 
dengan :
a = U1 = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku

untuk r
untuk r>1 disebut geometri naik (barisan divergen)

1.Sisipan pada barisan geometri
apabila diantara dua suku disisipkan k buah suku sehingga terbentuk barisan geometri baru maka rasio baru setelah sisipan adalah : r' = (k+1)'V(r) = (k+1) akar pangkat dari r
dengan:
r' = rasio setelah sisipan
r = rasio sebelum sisipan
k = banyaknya suku sisipan

2.Banyaknya suku baru setelah sisipan adalah n' = n+(n-1)k
dengan :
n' = banyaknya suku setelah sisipan
n = banyaknya suku sebelum sisipan
k = banyknya suku sisipan

3. Jumlah n suku pertama setelah sisipan :
Sn' = a [{(r')^(n'-1)} / (r' - 1) ] , r'>1
Sn' = a[{1 - (r')^n} / (1-r') ] , r' < 1

4. Suku tengah geometri
Ut = V(a. Un)
Ut:suku tengah
a : suku pertama
Un: suku ke-n